我們首先看看市值與stock-to-flow之比的非轉換散點圖（資料來自[4]）
在圖1中，我們有了一個很好的理由來使用市場價值的對數——因為跨度太大了。取市場價值的對數（但不是SF）並重新繪製，可以得到一個我們非常熟悉的對數圖模式（圖2）。
取stock-to-flow的對數並再次繪製，我們得到了圖3，存在明顯的線性模式。
這證明了“對數-對數”的這種轉換是唯一真正能顯示良好線性關係的方法。
另一種轉換是取兩者的平方根。這個模式如圖4所示。
顯然，對數變換最適合滿足第一個假設的要求（即線性）。
因此，初步分析不能拒絕H0。
下圖5展示了對數擬合迴歸的結果，其中[β]=[3.4，3.7]（95%置信區間）
使用該模型，我們現在可以估計殘差[ε]和擬合值[Y]，並檢驗其他假設。
同方差性
如果誤差項（即，同方差）中的恆定方差的假設是真的，那麼誤差項的預測值中的每一個值，都會隨機地在0左右移動。因此，使用RVF圖（圖6）是一種簡單有效的圖形方法，來確定這一假設的準確性。在圖6中，我們看到的是一個模式的一小點，而不是隨機散射，這表示誤差項的一個非恆定方差（即，異方差）。
這樣的異方差性，會導致係數[β]的估計值具有更大的方差，因此不太精確，並且導致p值比它們原本的更加顯著，因為OLS程式沒有檢測到增加的方差。因此，當我們計算t值和F值的時候，我們對方差進行低估，從而得到更高的顯著性。這也對 [β]的95%置信區間產生影響，β本身是方差的函式（透過標準差）。
在這個階段，繼續使用迴歸來理解這些問題的存在是合適的。我們可以用別的一些方法來處理這些問題-例如，自舉法、或方差的魯棒性估計值。
如圖7所示，雖然方差小幅增加（擴大的置信區間），但在很大程度上，異方差並不會有那麼大的不利影響。
在這個階段，我們不能因為異方差而拒絕H0。
誤差的正態性
誤差項的正態分佈且平均值為零的假設，比線性或齊次性的假設更不重要。非偏態殘差的非正態性，會使置信區間過於樂觀。如果殘差有偏差，那麼你的結果可能會有一點偏差。然而，從圖8和圖9可以看出，殘差有足夠的正態性。平均值表面上為零，雖然正式測試可能會拒絕正態性的假設，但它們與正態曲線的擬合程度足以使置信區間不受影響。
槓桿
槓桿是這樣一個概念：迴歸中並非所有資料點對係數的估計都有同等的貢獻。一些高槓杆率的點可能會顯著地改變係數，這取決於它們是否存在。在圖10中，我們可以很清楚地看到，從早期（2010年3月、4月和5月）開始，出現了一些令人擔憂的問題。這一點也不奇怪，S2F的作者在前面說過，收集早期的價值存在一些問題。
如果我們在沒有這些點的情況下進行重新迴歸（假設它們有一些錯誤），並且由於我們知道存在異方差問題，那麼我們應該使用魯棒性估計值。
在圖11中，我們可以看到，透過去掉這三個點後，[β]的估計值大不相同，赤池資訊準則（AIC）也大不相同，這表明儘管R²較低，但這是一個更好的模型。
OLS結論
基本診斷表明：原始OLS中存在一些小的可修復的問題。現階段我們不能拒絕H0。
平穩性
平穩過程被稱為0階積分（如I(0)）。非平穩過程是I(1)或更多。在這種情況下，整合更像是“可憐”的——它是滯後差異的總和。I(1)意味著如果我們從序列中的每個值減去第一個滯後值，我們將有一個I(0)的過程。眾所周知，非平穩時間序列上的迴歸是可以識別出虛假關係的。
在下面的圖12和13中，我們可以看到我們不能拒絕ADF檢驗的零假設。ADF檢驗的零假設是指資料是非平穩的。也就是說，我們不能說資料是平穩的。
KPSS檢驗是ADF檢驗平穩性的補充檢驗。這個檢驗（KPSS）有一個零假設，即資料是平穩的。如圖14和15所示，我們可以拒絕兩個變數中大多數滯後的平穩性。
這些檢驗證明了這兩個序列毫無疑問是非平穩的。但這有點問題，如果這個序列不是趨勢平穩的，那麼OLS可能會被誤導去發現一個虛假關係。我們可以做的一件事情是：取每個變數的對數月差，然後重新做OLS。然而，由於這一問題在計量經濟學中普遍存在，我們有一個更具有魯棒性的框架——即所謂的協整。
協整
協整是一種處理一對（或多對）I(1)過程、並確定是否存在關係、以及該關係是什麼的方法。為了理解協整，我們舉一個簡單例子——醉漢和他的狗。想象一個醉漢用皮帶牽著他的狗回家，醉漢毫無方向地走來走去。狗走路也是相當隨機：嗅樹，吠叫，追逐抓撓一隻小狗等等。
不過，狗的整體方向會在酒鬼的皮帶長度的範圍內。因此我們可以估計，在醉漢回家路上的任何一點上，狗都將在醉漢的皮帶長度內（當然可能在一邊或另一邊，但狗將在皮帶長度範圍內）。這種簡化類比的就是一個粗略的協整——狗和主人一起移動。
不同於相關性，假設一隻流浪狗，在回家路上95%的時間都跟著醉漢的狗在走，然後跑去追一輛車到了鎮子的另一邊。流浪狗和醉漢之間的路徑有著很強的關聯性（字面上是R²: 95%），不管醉漢曾經有過多少個在外面晃盪的夜晚，這種關係並不意味著什麼，也不能用來預測醉漢將會在哪裡，在過程中的某些部分，它是真的，而在另外一些部分，它是非常不準確的。
為了找到醉漢，首先，我們將看到我們的模型應該使用什麼樣的滯後順序（lag-order）規範。
我們在這裡確定了：最合適的滯後規範是2階AIC最小值。
接下來，我們需要確定是否存在協整關係，Johansen框架是很好的工具。
圖17的結果，說明lnvalue和lnSF之間至少存在一個協整。
我們將VECM定義為：
Δadmin@chaindaily =αβ`admin@chaindaily+Σ(Γ@iΔadmin@chaindaily)+v+δt+ε@t
根據在上述的資料，我們可以估計：
· [α] = [-0.14, 0.03]
· [β]=[1, -4.31],
· [v] = [0.03, 0.2], and
· [Γ]=[0.196, -0.095 \ -0.318, -0.122].
總的來說，結果表明該模型非常適合。協整方程中的ln(SF)係數和調整引數都具有統計顯著性。調整參數列明，當協整方程的預測值為正數時，由於協整方程中的ln(value)係數為負，ln(value)低於其平衡值。係數[D lnvalue]L. ce1的估計值為-0.14。
因此，當比特幣的價值過低時，它很快就會上升回到lnSF 。係數[D lnSF]L. ce1估計值為0.028，意味著當比特幣價值過低時，它會向均衡方向調整。
在上圖中，我們可以看到協整方程是趨向於零的。雖然它在形式上可能不是靜止的，但它確實在接近平穩狀態。
來自STATA手冊：
具有K個內生變數和r個協整方程的VECM伴隨矩陣具有Kr單位特徵值。如果過程是穩定的，則剩餘r特徵值的係數嚴格小於1。由於特徵值的係數沒有總分佈，因此很難確定係數與另一個係數是否接近。
特徵值圖顯示，剩餘特徵值都不接近單位圓。穩定性檢查並不能說明我們的模型是存在指定錯誤的。
上圖表明，stock-to-flow價值的正交衝擊，對比特幣的價值具有永久性影響。
這就是我們的底線。Stock-to-flow不是一個隨機變數，它是一個隨時間變化的已知值的函式。stock-to-flow不會受到衝擊，即它的價值可以由提前計算得到精確值。然而，這個模型提供了非常有力的證據，證明了在stock-to-flow與比特幣價值之間存在著一種基本的非虛假關係。
侷限性
在這項研究中，我們沒有考慮任何混淆變數。鑑於上述證據，任何混淆都不太可能對我們的結論產生重大影響——我們不能拒絕H0。我們不能說“stock-to-flow與比特幣價值之間沒有關係”。如果是這樣的話，就不存在協整方程了。
結論
雖然本文提出的一些模型在Akaike資訊準則方面超過了原始模型，但所有這些模型都未能否定“stock-to-flow是比特幣價值的重要非虛假預測因素”的這個假設。
用一個比喻來說明這一點：如果我們把比特幣的價值看作一個醉漢，那麼stock-to-flow並不是他真正的跟班狗，而更像是他走的路。醉漢會在路上到處遊蕩，有時會停下來、滑倒、錯過一個拐彎處、甚至在路上抄近路等；但總的來說，他會沿著這條路的方向回家。
簡而言之，比特幣就像是醉漢，而Stock-to-Flow就是回家的路。
